用DOE方法最優(yōu)化質(zhì)量因子配置

（DOE系列之四－RSM方法）

資深六西格瑪質(zhì)量咨詢專(zhuān)家  周暐

   經(jīng)過(guò)篩選試驗(yàn)的精簡(jiǎn)和全因子試驗(yàn)的描述，很多人會(huì)滿足已經(jīng)取得的成績(jī)，但也有一些精益求精的人會(huì)提出這樣的問(wèn)題：現(xiàn)有的最佳因子水平組合一定是所有因子設(shè)置中最理想的選擇嗎？如果不是，又應(yīng)當(dāng)如何找出最優(yōu)化的因子設(shè)置？

   確實(shí)，以往的DOE側(cè)重于分析哪些因子是重要的，到底有多重要以及它們之間是否會(huì)相互影響，卻沒(méi)有刻意去從整體中尋覓最佳的因子設(shè)置。為了解決這個(gè)問(wèn)題，需要引入DOE中另一種新方法——響應(yīng)曲面方法（ResponseSurface Methodology,即RSM），這也是我們本期DOE系列介紹的主題。在這里，筆者仍將借助目前業(yè)界公認(rèn)的高端六西格瑪統(tǒng)計(jì)分析軟件JMP來(lái)為大家展現(xiàn)響應(yīng)曲面方法的實(shí)現(xiàn)和應(yīng)用，順便提及，JMP6是迄今業(yè)界唯一的中英文雙語(yǔ)版六西格瑪軟件，來(lái)自全球頂尖的統(tǒng)計(jì)學(xué)軟件集團(tuán)SAS。

    在實(shí)際工作中，常常需要研究響應(yīng)變量究竟如何依賴于自變量X的，進(jìn)而能找到自變量的設(shè)置使得響應(yīng)變量得到最佳值。當(dāng)自變量的個(gè)數(shù)較少（通常不超過(guò)4個(gè)），則響應(yīng)曲面方法是最值得推薦的方法，適合于要求響應(yīng)變量望大（即越大越好）、望?。丛叫≡胶茫┖屯浚丛浇咏繕?biāo)值越好）等各種常見(jiàn)情形。

   通常來(lái)說(shuō)，DOE的核心技術(shù)可分為試驗(yàn)計(jì)劃和數(shù)據(jù)分析兩大類(lèi)，響應(yīng)曲面方法也不例外。在數(shù)據(jù)分析方面，它和以前介紹的方法沒(méi)有什么本質(zhì)的不同，但在試驗(yàn)計(jì)劃方面，則有顯著的改進(jìn)。響應(yīng)曲面方法的試驗(yàn)計(jì)劃主要有中心復(fù)合設(shè)計(jì)和Box-Behnken設(shè)計(jì)兩種形式，具體用圖形說(shuō)明如下。

圖一  三因子中心復(fù)合設(shè)計(jì)布點(diǎn)示意圖

   圖一是以三維空間立方體的形式展示了一個(gè)三個(gè)因子的中心復(fù)合設(shè)計(jì)的試驗(yàn)計(jì)劃示意圖，在以下的敘述中給出的坐標(biāo)都已將各因子代碼化。整個(gè)試驗(yàn)由下面三部分試驗(yàn)點(diǎn)構(gòu)成。

    1. 立方體點(diǎn)（Cube Point），用藍(lán)色點(diǎn)表示。各點(diǎn)坐標(biāo)皆為1或-1，這是全因子試驗(yàn)相同的部分。

    2. 中心點(diǎn) (CenterPoint)，用綠色點(diǎn)表示。各點(diǎn)的三維坐標(biāo)皆為0。

    3. 軸點(diǎn)(AxialPoint)，用黃色點(diǎn)表示。除了一維自變量坐標(biāo)為±?（旋轉(zhuǎn)性指數(shù)）外，其余維度的自變量坐標(biāo)皆為0。在三個(gè)因子情況下，共有6個(gè)軸點(diǎn)。

   試驗(yàn)計(jì)劃的另一種形式就是Box-Behnken設(shè)計(jì)。這種設(shè)計(jì)的特點(diǎn)是將因子各試驗(yàn)點(diǎn)取在立方體每條邊的中點(diǎn)上。

圖二  三因子Box-Behnken設(shè)計(jì)布點(diǎn)示意圖

   圖二同樣以三維空間立方體的形式展示了一個(gè)三個(gè)因子的Box-Behnken設(shè)計(jì)的試驗(yàn)計(jì)劃示意圖。整個(gè)試驗(yàn)由下面兩部分試驗(yàn)點(diǎn)構(gòu)成。

    1. 邊中心點(diǎn)（Side CenterPoint），用白色點(diǎn)表示。除了一維自變量坐標(biāo)為0外，其余維度的自變量坐標(biāo)皆為±1。 在三個(gè)因子情況下，共12個(gè)邊中心點(diǎn)。

    2. 中心點(diǎn) (CenterPoint)，用黑色點(diǎn)表示。各點(diǎn)的三維坐標(biāo)皆為0。

   由以上兩個(gè)示意圖可以清晰地發(fā)現(xiàn)，響應(yīng)曲面方法有規(guī)律、有目的地在試驗(yàn)計(jì)劃中增添了有限次數(shù)的各因子的中心試驗(yàn)點(diǎn)和拓展試驗(yàn)點(diǎn)，這為研究曲率的變化趨勢(shì)、最優(yōu)區(qū)域的確定等提供了極大的便利。

   關(guān)于響應(yīng)曲面方法在數(shù)據(jù)分析方面的特點(diǎn)，由于其和一般的因子設(shè)計(jì)DOE非常類(lèi)似，此處就不做贅述。主要還是通過(guò)一個(gè)工業(yè)案例來(lái)一并介紹響應(yīng)曲面方法的實(shí)際應(yīng)用。

    場(chǎng)景 : 如何通過(guò)催化劑（Catalyst）和穩(wěn)定劑（Stabilizer）配置比例的具體設(shè)定，才能獲得某化學(xué)試劑的最低不純度（Impurities%）？

   顯然，此時(shí)的工程師已經(jīng)不滿足于從僅有的四次全因子組合中選擇最優(yōu)的選項(xiàng)，而是希望在一個(gè)更廣闊的可行性空間里充分挖掘過(guò)程的潛能，尋覓到一個(gè)最理想或是最接近理想值的配置比例。當(dāng)然，實(shí)現(xiàn)這一目的的同時(shí)還要兼顧試驗(yàn)的經(jīng)濟(jì)成本和時(shí)間次數(shù)等。

   這時(shí)候，將傳統(tǒng)的因子設(shè)計(jì)方法擱置一旁，適時(shí)地調(diào)用響應(yīng)曲面方法，往往會(huì)起到最佳的效果。為了提高我們應(yīng)用DOE的工作效率，本文將直接使用專(zhuān)業(yè)統(tǒng)計(jì)軟件JMP進(jìn)行響應(yīng)曲面方法分析，試圖獲得化學(xué)試劑的不純度最低時(shí)的配置比例。

   首先，我們根據(jù)實(shí)際情況，以中心復(fù)合設(shè)計(jì)為原則，迅速地確定了13次運(yùn)行次數(shù)的試驗(yàn)規(guī)模以及每次試驗(yàn)時(shí)的因子具體設(shè)置。接著，根據(jù)既定的試驗(yàn)計(jì)劃進(jìn)行實(shí)施，并且及時(shí)收集每次試驗(yàn)的響應(yīng)值。將以上結(jié)果匯總之后，即可得到如圖三所示的JMP文件格式的數(shù)據(jù)表格。

圖三  中心復(fù)合設(shè)計(jì)的試驗(yàn)結(jié)果匯總表

   然后，運(yùn)用“模型擬合”的操作平臺(tái)，就可以得到具體詳盡的定量分析。遵循我們“強(qiáng)調(diào)通俗易懂，淡化統(tǒng)計(jì)原理”的一貫原則，我們不多在統(tǒng)計(jì)參數(shù)上花費(fèi)筆墨，依然通過(guò)形象直觀的圖形來(lái)說(shuō)明分析結(jié)果。在求出精確解之前,我們先觀察一下圖四所示的等高線圖（ContourPlot）和圖五所示的曲面圖（Surface Plot）。從兩個(gè)圖中都可以清楚地看到，在原試驗(yàn)范圍內(nèi)確實(shí)存在一個(gè)最小值。

圖四  等高線圖

圖五  曲面圖

   那么這個(gè)最小值究竟是多少？它又是在什么條件下產(chǎn)生的呢？進(jìn)一步借助JMP自帶的模型預(yù)測(cè)刻畫(huà)器（PredictionProfiler），如圖六所示，我們可以輕輕松松地得到最優(yōu)化的配置比例：催化劑%=1.410568，穩(wěn)定劑%=3.282724，這時(shí)產(chǎn)生的最低不純凈度%=3.156636。順便提及，筆者嘗試了多種統(tǒng)計(jì)分析軟件，只發(fā)現(xiàn)JMP集成了模擬功能，實(shí)在難能可貴。
至此，我們匆匆走過(guò)了應(yīng)用DOE優(yōu)化流程的探索之路。其實(shí)在DOE的優(yōu)化過(guò)程中，還有很多其他實(shí)用的知識(shí)和技巧，筆者將會(huì)在今后的文章中在做深入的介紹。

圖六  模型的預(yù)測(cè)刻畫(huà)器