在實(shí)際工作中，常常需要研究一些配方（或稱為配比）的試驗(yàn)問題，這種問題常常出現(xiàn)在冶金、化工、醫(yī)藥、食品等行業(yè)中。例如，不銹鋼是由鐵、鎳、銅和鉻4種元素組成；閃光劑由鎂、硝酸鈉、硝酸鍶及固定劑組成；復(fù)合燃料、復(fù)合塑料、混紡纖維、混凝土、粘接劑、藥片、飼料等都是由多種成分按相應(yīng)比率制作而成，等等。這些產(chǎn)品都可以被統(tǒng)稱為混料（Mixture），組成混料的各種成分可以被稱為混料成分或分量，同時(shí)它們也是混料試驗(yàn)中的因子（Factor）。它們的比例關(guān)系對產(chǎn)品的最終質(zhì)量特性起到了決定性的作用。

   這時(shí)候，如果我們要用試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法進(jìn)行分析的話，會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)與眾不同的特征。一是通常人們關(guān)心的是各種分量的比例而不是其絕對數(shù)值，二是所有分量之間存在一種特殊的約束條件，即總和一定為1或其他常數(shù)。這兩個(gè)與眾不同的特征使此類試驗(yàn)設(shè)計(jì)的研究方法與此前我們討論過的所有試驗(yàn)設(shè)計(jì)類型都有明顯的區(qū)別，直接應(yīng)用以往的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法顯得頗為牽強(qiáng)，所得到的分析結(jié)果也降低了可信度。

   如何解決這個(gè)棘手的問題呢？事實(shí)上，對于這種分量之和總是為一定常量的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，我們常常會(huì)請一位精于此道的DOE高手——混料設(shè)計(jì)（MixtureDesign）來幫忙。本期的DOE系列連載就將具體介紹混料設(shè)計(jì)的原理與應(yīng)用。同樣，混料設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn)也離不開統(tǒng)計(jì)分析軟件的支持。高端六西格瑪統(tǒng)計(jì)分析軟件JMP是目前業(yè)界最先進(jìn)的六西格瑪工具，其在DOE方面的表現(xiàn)最為優(yōu)秀，在本期案例中我們將繼續(xù)以中英文雙語版JMP軟件作為DOE方案實(shí)現(xiàn)的載體。

   一般來說，混料設(shè)計(jì)中的混料成分至少有3種，它們之間的約束特征可以用圖一來形象地表示。也就是說，所有的試驗(yàn)點(diǎn)均落在一個(gè)特定三角形平面上，而不是以往的一個(gè)立方體內(nèi)。這個(gè)現(xiàn)象進(jìn)一步地提示我們可以利用“三線坐標(biāo)系”巧妙又直觀地揭示混料設(shè)計(jì)中各分量的組成狀況。其原理來源于平面幾何中的有關(guān)知識(shí)：等邊三角形內(nèi)的任何一點(diǎn)到三條邊的距離之和等于該三角形的高。如果設(shè)三角形的高為1，則任何一點(diǎn)的坐標(biāo)就可以用其到三個(gè)邊的三個(gè)距離來表示。當(dāng)然，這三個(gè)坐標(biāo)并不獨(dú)立——三者之和恒為1，這恰好與混料設(shè)計(jì)中“共有3種混料成分，所有成分的比例之和總是為1”的條件相對應(yīng)，圖二就是一張三線坐標(biāo)系的示意圖。當(dāng)混料設(shè)計(jì)中的混料成分增至4種時(shí)，等邊三角形將變成正四面體，增至5種以上時(shí)，就沒有直觀的圖形了，但是我們可以以此類推，想象一個(gè)多維空間圖形的存在。

   混料設(shè)計(jì)中最重要，也是最有特色的當(dāng)屬試驗(yàn)點(diǎn)的選取方法。常見的選取方法有四種，分別是單純形中心設(shè)計(jì)（SimplexCentroid）、單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)（Simplex Lattice）、極角點(diǎn)設(shè)計(jì)（ExtremeVertices）和篩選設(shè)計(jì)（ABCD Design）。本文將以最為典型的“單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)”為代表，詳細(xì)介紹如何選取試驗(yàn)點(diǎn)。

   單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)的基本思想是將全部格子點(diǎn)集內(nèi)每個(gè)點(diǎn)依次選中。格子點(diǎn)是由因子和階數(shù)兩個(gè)參數(shù)給定, 此格子點(diǎn)集記為{ ，}。以三種混料成分（即三個(gè)因子）為例，三因子一階數(shù)的格子點(diǎn)集合（記作{3，1}）就是 3個(gè)頂點(diǎn)全體（參見圖三的左圖），三因子二階數(shù)的格子點(diǎn)集合（記作{3，2}）就是將3條邊各二等分，由 3 個(gè)頂點(diǎn)及3條邊中點(diǎn)全體組成的集合（參見圖三的中圖）。三因子三階數(shù)的格子點(diǎn)集合（記作{3，3}）就是將3條邊各三等分，過各分點(diǎn)畫與另兩邊平行的直線，由平行線所交而形成的格點(diǎn)（共10個(gè)）組成的集合（參見圖三的右圖）。依此類推,但通常階數(shù)到3為止就足夠了。{3，3}格子點(diǎn)的坐標(biāo)如圖四所示。

   關(guān)于混料設(shè)計(jì)其他眾多的選點(diǎn)設(shè)計(jì)方案，有興趣的讀者可查閱相關(guān)書籍或統(tǒng)計(jì)軟件JMP的幫助文件說明來進(jìn)一步豐富自己的視野。這里還是通過一個(gè)實(shí)際的工業(yè)案例來介紹混料設(shè)計(jì)的應(yīng)用特點(diǎn)。

    場景 :在新型高強(qiáng)度合金冶煉技術(shù)中，關(guān)鍵是添加劑的配比問題。假設(shè)添加劑總量占總量2%，而添加劑由A,B,C共3種成分構(gòu)成。試安排一個(gè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)，求出3種分量的配比使斷裂強(qiáng)度達(dá)到最大。

   顯然，這個(gè)試驗(yàn)非常適合用混料設(shè)計(jì)的方法來解決。綜合考慮試驗(yàn)成本等因素，首先采用了前文介紹過的“三因子三階數(shù)的單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)”選擇試驗(yàn)點(diǎn)。然后根據(jù)試驗(yàn)計(jì)劃開展試驗(yàn)，完成試驗(yàn)后將數(shù)據(jù)匯總，得到斷裂強(qiáng)度的測量值，如圖五所示。

   同時(shí)，我們也可以利用統(tǒng)計(jì)分析軟件JMP提供的繪圖工具“三元圖”來形象地表現(xiàn)此次混料設(shè)計(jì)中的選點(diǎn)方案，如圖六所示。

圖六  展示混料設(shè)計(jì)中選點(diǎn)方案的三元圖

   關(guān)于混料設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)分析，其方法和之前介紹的方法類似，主要也是通過“標(biāo)準(zhǔn)最小二乘法”來實(shí)現(xiàn)。有了統(tǒng)計(jì)分析軟件JMP的幫助，這部分的工作顯得更加輕松有效。延續(xù)以往的做法，在此依然用JMP軟件中可視化效果極佳的預(yù)測刻畫器說明統(tǒng)計(jì)建模的分析結(jié)果。如圖七可知，當(dāng)添加劑的配比中成分A為0%，成分B為20.329%，成分C為79.671%時(shí)，斷裂強(qiáng)度將會(huì)達(dá)到最大的142.7659。我們可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行驗(yàn)證試驗(yàn)。

圖七  混料設(shè)計(jì)模型的刻畫器

   到目前為止，我們已經(jīng)向大家介紹了很多關(guān)于DOE的內(nèi)容，但是近百年來學(xué)術(shù)界和企業(yè)界不斷積累起來的DOE知識(shí)經(jīng)驗(yàn)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些。從下一期起，更多新穎實(shí)用的DOE理論與應(yīng)用將會(huì)陸續(xù)登場亮相。(資深六西格瑪咨詢專家 周暐)